Question

16．如圖，已知線段AB長度是4，以AB為邊作正方形ABCD，動點M，N在正方形的邊上運動，且MN=3，如果點M從點A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A的路線，向點A運動，則點M從點A運動一周回到點A的運動過程中，MN的中點P所經過的路線長度是3π+4．

Answer 1

分析 當點M在AB上時，設點M的坐標為（m，0）．由勾股定理得到點N的坐標，然后由中點坐標公式得到點P的運動軌跡的函數關系式，從而得到此時點P的運動路徑是以A為圓心以$\frac{3}{2}$為半徑的圓周長的$\frac{1}{4}$，當3＜m≤4時，點P的軌跡為線段EF，最后可知點P運動的軌跡為3π+4．

解答 解：當點M在AB上時，設點M的坐標為（m，0）．
在Rt△MNA中，AN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9-{m}^{2}}$，則點N的坐標為（0，$\sqrt{9-{m}^{2}}$）．
由線段的中點坐標公式得：點P的坐標為（$\frac{m}{2}$，$\frac{\sqrt{9-{m}^{2}}}{2}$）．
∵x=$\frac{m}{2}$，y=$\frac{\sqrt{9-{m}^{2}}}{2}$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{9}{4}$．
∴當0≤m≤3時，點P的軌跡為以A為圓心以$\frac{3}{2}$為半徑的圓周長的$\frac{1}{4}$．
當3＜m≤4時，點P的軌跡為線段EF．
同理可得到點M在BC、CD、DA上運動時，點P的軌跡．
點M從點A運動一周回到點A的運動過程中，MN的中點P所經過的路線如圖所示：

∴點P所經過的路線=（$\frac{1}{4}$×2$π×\frac{3}{2}$+1）×4=3π+4．
故答案為：3π+4．

點評 本題主要考查的是點的軌跡問題，求得當0≤m≤3時，點P的運動軌跡的函數關系式是解題的關鍵．