Question

19．問(wèn)題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求此三角形的面積．
小軍同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示，這樣不需要求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算它的面積．
（1）請(qǐng)將△ABC的面積直接填寫在橫線上：$\frac{7}{2}$．
（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法，如果△ABCD的三邊長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$a，$\sqrt{13}$a，2$\sqrt{5}$a，請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
（3）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法畫出相應(yīng)的△ABC，并求出這個(gè)三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）△ABC的面積=正方形面積減去三個(gè)三角形面積，求出即可；
（2）$\sqrt{5}$a是直角邊長(zhǎng)為a，2a的直角三角形的斜邊；2$\sqrt{2}$a是直角邊長(zhǎng)為2a，2a的直角三角形的斜邊；$\sqrt{17}$a是直角邊長(zhǎng)為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：S_△ABC=3²-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{7}{2}$；
故答案為：$\frac{7}{2}$；
（2）如圖：

此時(shí)S_△ABC=2a×4a-$\frac{1}{2}$a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$=3a²；
（3）構(gòu)造△ABC，如圖所示，

此時(shí)S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n=5mn．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．