Question

（2012•南長(zhǎng)區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，∠ODB=30°，OE為△BOD的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線y=ax²-

3

6

x+c與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的右側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是上述拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若由點(diǎn)D、O、E、P構(gòu)成四邊形為梯形，則這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？試求出其中兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）解直角三角形求出OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD、OE的解析式，然后分①EP∥OD時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線計(jì)算即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，②DP∥OE時(shí)，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出DP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；③OP∥DE時(shí)，先求出直線OP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；
（3）令y=0，利用拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OD于G，求出AG、EG，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AE的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AE于K，利用∠EAG的正弦值列式求出OK，余弦值列式求出AK，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出KM的長(zhǎng)度，然后分點(diǎn)M在點(diǎn)K的左邊與右邊兩種情況解答．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（0，2），
∴OB=2，
∵∠ODB=30°，
∴OD=OB•cot30°=2

3

，
∵E為BD中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

3

，1），
∵拋物線y=ax²-

3

6

x+c經(jīng)過(guò)B（0，2）、E（-

3

，1），
∴

c=2 3a- 3 6 ×(- 3 )+c=1

，
解得

a=- 1 2 c=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-

3

6

x+2；

（2）∵點(diǎn)B（0，2），D（-2

3

，0），
∴直線BD的解析式為y=

3

3

x+2，
∵點(diǎn)E（-

3

，1），
∴直線OE的解析式為y=-

3

3

x，
①EP∥OD時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，為1，
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴-

1

2

x²-

3

6

x+2=1，
解得x₁=-

3

（為點(diǎn)E，舍去），x₂=

2 3

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2 3

3

，1），
②DP∥OE時(shí)，設(shè)直線DP的解析式為：y=-

3

3

x+m，
則-

3

3

×（-2

3

）+m=0，
解得m=-2，
所以，直線DP的解析式為y=-

3

3

x-2，
聯(lián)立

y=- 3 3 x-2 y=- 1 2 x2- 3 6 x+2

，
解得

x1= 3 + 291 6 y1= -39- 873 18

，

x2= 3 - 291 6 y2= -39+ 873 18

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3 + 291

6

，

-39- 873

18

）或（

3 - 291

6

，

-39+ 873

18

），
③OP∥DE時(shí)，直線OP的解析式為y=

3

3

x，
聯(lián)立

y= 3 3 x y=- 1 2 x2- 3 6 x+2

，
解得

x1= - 3 + 19 2 y1= -3+ 57 6

，

x2= - 3 - 19 2 y2= -3- 57 6

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

- 3 + 19

2

，

-3+ 57

6

）或（

- 3 - 19

2

，

-3- 57

6

），
∴點(diǎn)P有5個(gè)，為P₁（

2 3

3

，1），P₂（

3 + 291

6

，

-39- 873

18

），P₃（

3 - 291

6

，

-39+ 873

18

），P₄（

- 3 + 19

2

，

-3+ 57

6

），P₅（

- 3 - 19

2

，

-3- 57

6

）；

（3）令y=0，則-

1

2

x²-

3

6

x+2=0，
整理得，3x²+

3

x+12=0，
解得x₁=-

4 3

3

，x₂=

3

，
∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側(cè)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

，0），
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OD于G，∵點(diǎn)E（-

3

，1），
∴OG=

3

，EG=1，
∴AG=

3

+

3

=2

3

，
在Rt△AEG中，AE=

AG2+EG2

=

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