Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB交AB于點D，E是OB上的一點，直線CE與⊙O交于點F，連接AF交直線CD于點G，
（1）求證：△ACG∽△AFC；
（2）若AC=2

2

，求AG•AF的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；首先證明∠F=∠ACG，結合∠CAG=∠FAC，即可解決問題．
（2）由△ACG∽△AFC，得到

AC

AF

=

AG

AC

，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，
延長CG，交⊙O于點H；連接AH；
∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AH

，
∴∠F=∠ACG，而∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC．
（2）∵△ACG∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AG

AC

，
∴AC²=AF•AG，而AC=2

2

，
∴AF•AG=8．

點評：該題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用圓周角定理、相似三角形的判定及其性質來分析、判斷、解答．