Question

19．如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠C=∠D，P是CD上一動點，且∠APE=∠D．若AD=BC=4，CD=7．
（1）求證：△ADP∽△PCE；
（2）是否存在點P，使$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$？若存在，請求DP的長；若不存在，請說明理由；
（3）若點P移到CD的中點時，求證：∠PAE=∠PAD．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠D=∠C，再由三角形外角的性質(zhì)得出∠D+∠DAP=∠APC=∠APE+∠EPC，故∠DAP=∠EPC，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$可得出BE，CE的長，再由△ADP∽△PCE可得出結(jié)論；
（3）由（1）知△ADP∽△PCE，故$\frac{AP}{PE}$=$\frac{DP}{CE}$．再根據(jù)P為DC的中點可得出DP=PC，故∠APE=∠C，由此可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠D=∠C．
∵∠APE=∠D，
∴∠APE=∠C．
∵∠D+∠DAP=∠APC=∠APE+∠EPC，
∴∠DAP=∠EPC．
在△ADP與△PCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠DAP=∠EPC\\∠D=∠C\end{array}\right.$，
∴△ADP∽△PCE；

（2）解：∵AD=BC=4，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=1.5，CE=2.5．
∵△ADP∽△PCE，設(shè)DO=x，
∴$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DP}{CB}$，即$\frac{4}{7-x}$=$\frac{x}{2.5}$，解得x₁=2，x₂=5＞4（舍去），
∴DP=2．

（3）證明：∵由（1）知，△ADP∽△PCE，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{DP}{CE}$．
∵P為DC的中點，
∴DP=PC．
∴∠APE=∠C，
∴△APE∽△PCE，
∴∠PAE=∠PAD．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)等知識，在解答此題時要注意等腰梯形的兩底角相等的知識的應(yīng)用，難度較大．