Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AE平分∠DAC交DC于E，點O是AC一點，⊙O過A、E兩點，交AD于G，交AC于F，連接EF．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）連接FG交AE于H，若EH=2，HA=，求EF長．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠OAE，
又∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠OEA，
∴AD∥OE，
∴∠ADE=∠OEC=90°，
∴OE⊥CD，
∴CD與⊙O相切；

（2）∵AF為圓O的直徑，
∴∠AGF=90°，又∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠AGF，
∴GF∥DC，
∴∠HFE=∠FEC，
又∵∠FEC=∠EAF，
∴∠HFE=∠EAF，
又∵∠HEF=∠FEA，
∴△HEF∽△FEA，
∴=，
又∵HE=2，AE=AH+HE=2+=，
∴EF²=2×=9，
∴EF=3．
分析：（1）由三角形ABC為等腰三角形，D為底邊的中點，根據(jù)三線合一得到AD與BC垂直，由AE為角平分線得到一對角相等，再根據(jù)半徑OA=OE，根據(jù)等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得一對內(nèi)錯角相等，根據(jù)內(nèi)錯角相等可得AD與OE平行，進(jìn)而得到OE與DC垂直，可得CD為圓O的切線；
（2）由AF為圓的直徑，根據(jù)直角所對的圓周角為直角可得∠AGF為直角，又∠ADC也為直角，根據(jù)同位角相等可得GF與DC平行，可得一對內(nèi)錯角相等，再根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，等量代換得到∠HFE=∠EAF，再由一個公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得三角形HFE與三角形AEF相似，根據(jù)相似得比例，再由已知的EH與HA的長求出AE的長，進(jìn)而求出EF的長．
點評：此題考查了切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．