Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點，DB分別交AN、CM于點P、Q．下列結論：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ；（4）S_△ADP=

1

4

S_{平行四邊形ABCD}．其中正確結論的個數為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點，易證△ADN≌△CBM，AN∥CM，根據M是AB的中點，因而BQ=PQ，同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB；同理易證△APD≌△CBQ，則AP=CQ；根據AB∥CD，△BMQ∽△DCQ，

MQ

CQ

=

BM

CD

=2，CQ=2MQ；根據DP=PQ=QB，AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3，因而S_△ADP=

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6

S_{平行四邊形ABCD}．

解答：解：平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點，
∴DN=MB，∠MBC=∠NDA，AD=BC，
∴△ADN≌△CBM，
∴∠DNA=CMB，
∵AB∥CD，
∴∠DNA=∠NAM，
∴∠NAM=∠CMB，
∴AN∥CM，
∵M是AB的中點，
∴BQ=PQ，
同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB，
同理易證△APD≌△CBQ，則AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴△BMQ∽△DCQ，
∴

MQ

CQ

=

BM

CD

=2，
∴CQ=2MQ，
∵DP=PQ=QB，
∴AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3，
∴S_△ADP=

1

6

S_{平行四邊形ABCD}，
∴正確結論的個數為：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ．
故選B．

點評：本題考查的是利用平行四邊形的性質結合三角形全等來解決有關線段相等的證明．