Question

4．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，-2），B（3，3），C（0，6）．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△APC與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）拋物線對稱軸上是否存在點Q，使∠AQC=90°？若存在，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線過A、B、C三點，利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論；
（2）由同底的三角形面積相等可知兩三角形高相等，求出直線AC的解析式，由點到直線的距離即可找出P點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出Q點坐標(biāo)，由兩點間的距離公式結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，-2），B（3，3），C（0，6），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a-2b+c}\\{3=9a+3b+c}\\{6=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$．
故該拋物線的解析式為y=-x²+2x+6．
（2）∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+6，
∴拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1．
假設(shè)存在符合題意的點P，設(shè)P點坐標(biāo)為（1，m），直線AC的解析式為y=kx+b．
由點A（-2，-2），點C（0，6）在直線AC上可知，
$\left\{\begin{array}{l}{-2=-2k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故直線AC的解析式為4x-y+6=0．
∵△APC與△ABC的面積相等，
∴點B、點P到直線AC的距離相等，
即$\frac{|4×3-3+6|}{\sqrt{{4}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|4-m+6|}{\sqrt{{4}^{2}+（-1）^{2}}}$，
解得：m=-5，或m=20．
故拋物線對稱軸上存在點P，使△APC與△ABC的面積相等，點P的坐標(biāo)為（1，-5）或（1，20）．
（3）假設(shè)存在符合條件的點Q，設(shè)Q點的坐標(biāo)為（1，n）．
由兩點間的距離公式可知：
AC²=[0-（-2）]²+[6-（-2）]²=68，AQ²=[1-（-2）]²+[n-（-2）]²=9+（n+2）²，CQ²=（1-0）²+（n-6）²=1+（n-6）²，
∵∠AQC=90°，
∴AC²=AQ²+CQ²，
即68=9+（n+2）²+1+（n-6）²，
解得：n=2±$\sqrt{13}$．
故拋物線對稱軸上存在點Q，使∠AQC=90°，Q點坐標(biāo)為（1，2+$\sqrt{13}$）或（1，2-$\sqrt{13}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式、點到直線的距離以及兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）同底等高的三角形面積相等；（3）兩點間的距離公式結(jié)合勾股定理得出關(guān)于n的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，（1）沒有難度；（2）（3）需要用到點到直線的距離．解決該類型題目時，可以假設(shè)存在符合條件的點，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用已知條件將求坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成求一元二次方程的根．