Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切線，切點為D，直線AC交⊙C于點E、F，且CF=

1

2

AC．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）若AC=8，求△ABF的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接DC，根據(jù)AB是⊙C的切線，所以CD⊥AB，根據(jù)CD=

1

2

AC，得出∠A=30°，因為AC=BC，從而求得∠ACB的度數(shù)．
（2）通過△ACD≌△BCF求得∠AFB=90°，已知AC=8，根據(jù)已知求得AF=12，由于∠A=30°得出BF=

1

2

AB，然后依據(jù)勾股定理求得BF的長，即可求得三角形的面積．

解答：解：（1）連接CD，

∵AB是⊙C的切線，
∴CD⊥AB，
∵CF=

1

2

AC，CF=CE，
∴AE=CE，
∴ED=

1

2

AC=EC，
∴ED=EC=CD，
∴∠ECD=60°，
∴∠A=30°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°．

（2）∵∠A=30°，AC=BC，
∴∠ABC=30°，
∴∠BCF=60°，
在△ACD與△BCF中

AC=BC ∠ACD=∠BCF=60° CD=CF

∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴∠ADC=∠BFC，
∵CD⊥AB，
∴CF⊥BF，
∵AC=8，CF=

1

2

AC．
∴CF=4，
∴AF=12，
∵∠AFB=90°，∠A=30°，
∴BF=

1

2

AB，
設(shè)BF=x，則AB=2x，
∵AF²+BF²=AB²，
∴（2x）²-x²=12²
解得：x=4

3

即BF=4

3

∴△ABF的面積=

1

2

AF•BF=

1

2

×12×4

3

=24

3

，

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．