Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABP∽△DPE；
（2）設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）請你探索在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ABP=∠EPD，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)矩形的判定定理、結(jié)合一元二次方程計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵∠A=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵PE⊥BP，
∴∠EPD+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠EPD，
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴∠D=90°，
∴△ABP∽△DPE；
（2）∵△ABP∽△DPE，
∴$\frac{AB}{PD}$=$\frac{AP}{DE}$，即$\frac{2}{5-x}$=$\frac{x}{y}$，
則y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x，0＜x＜5；
（3）當(dāng)四邊形ABED為矩形時(shí)，DE=AB=2，即y=2，
則-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x=2，
解得，x₁=1，x₂=4（舍去），
∴當(dāng)AP=1時(shí)，四邊形ABED能構(gòu)成矩形．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判斷定理是解題的關(guān)鍵，注意函數(shù)思想在解題中的靈活運(yùn)用．