Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明三個角是直角即可解決問題；
（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長即可；

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

（2）作OF⊥BC于F．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面積=$\frac{1}{2}$•EC•OF=1．

點評 本題考查矩形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．