Question

已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=2

7

，sin∠BCD=

3

4

．
（1）求證：CD∥BF；
（2）求弦CD的長；
（3）求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切線得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可證明CD∥BF；
（2）根據(jù)圓周角定理可得∠A=∠BCD，由于sin∠BCD=

3

4

，所以sin∠A=

3

4

，而AD=2

7

，由此求出DE也就求出了CD；
（3）連接BD，由AB是直徑得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，所以sin∠BAD=

BD

AB

=

3

4

，再利用勾股定理即可求出AB，進(jìn)而求出圓的半徑．

解答：（1）證明：
∵BF是⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；
解：（2）∵∠BCD=∠BAD，
∴sin∠DAE=sin∠BCD=

3

4

，AD=2

7

，
∴

DE

AD

=

3

4

，
∵AD=2

7

，
∴DE=

3 7

2

，
∵AE⊥DE，
∴CE=DE，
∴CD=2ED=3

7

；
（3）連結(jié)BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=

BD

AB

=

3

4

，
∴AB=

4

3

BD，
∵AD=2

7

，
由勾股定理得BD=6，AB=8，
∴⊙O的半徑為4．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，勾股定理的運用及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．