Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交折線AC-BC于點(diǎn)E，以DE為邊向下作正方形DEFG，點(diǎn)G在AB上，正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E落在點(diǎn)C？當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F落在BC上？
（3）當(dāng)E在線段AC上時(shí)，求DF的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；
（4）求y與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在點(diǎn)C處時(shí)，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求得t的取值范圍；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（3）根據(jù)△ADE是等腰直角三角形以及勾股定理進(jìn)行解答即可；
（4）如圖2所示，重合部分的面積=正方形的面積；如圖3所示，重合部分的面積=正方形的面積-三角形的面積．

解答 解：（1）由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，
∵DE⊥AB，AC=CB，
∴AD=BD．
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$．
∴t=3．
當(dāng)點(diǎn)F落在BC上時(shí)，如圖1所示．

∵△AED和△BGF為等腰直角三角形，四邊形DEFG為正方形，
∴AD=DG=GB．
∴t=$\frac{1}{3}$AB=2$\sqrt{2}$．
（3）根據(jù)題意可知：△AED為等腰直角三角形，四邊形DEFG為正方形．
∴DE=EF=AD=t．
在△DEF中，由勾股定理可知：DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{2}t$．
（4）如圖2所示：

重合部分的面積=正方形DEFG的面積．
∴y=t²（0＜t＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．
如圖3所示；

∵△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=ED=t．
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}t$．
∴EC=6-$\sqrt{2}t$．
根據(jù)題意可知△ECM為等腰直角三角形，
∴CM=EC=6-$\sqrt{2}t$．
在△CEM中，由勾股定理得：ME=$\sqrt{C{E}^{2}+C{M}^{2}}$=6$\sqrt{2}$-2t．
∴MF=EF-EM=t-（6$\sqrt{2}$-2t）=3t-6$\sqrt{2}$．
∴△MNF的面積=$\frac{1}{2}MF•FN=\frac{1}{2}×（3t-6\sqrt{2}）^{2}$．
∵重合部分的面積=正方形的面積-△FMN的面積，
∴y=${t}^{2}-\frac{1}{2}（3t-6\sqrt{2}）^{2}$=$-\frac{7}{2}{t}^{2}+18\sqrt{2}t-36$．
綜上所述，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t＜\frac{2\sqrt{6}}{3}）}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+18\sqrt{2}t-36（\frac{2\sqrt{6}}{3}＜t＜6）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．