Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿線段DA的方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線CB的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△APQ的面積；

（2）若四邊形ABQP為平行四邊形，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）10；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，先求出等腰梯形的高AE，當(dāng)t=2時(shí)可求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出△APQ的面積．

（2）如果四邊形ABQP為平行四邊形則可得出AP=BQ，從而可列出關(guān)于t的方程，解出即可得出t的值．

（3）將AP、AQ、PQ分別用t表示出來(lái)，然后討論，①AP=AQ，②AP=PQ，③AQ=PQ，分別解出t的值即可得出答案．

試題解析：（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，∵AB=DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，又∵AB=DC=10，AD=15，BC=25，∴BE=（BC﹣AD）=5，在RT△ABE中，，當(dāng)t=2時(shí)，AP=AD﹣t=13，

∴△APQ的面積=AP×AE=．

（2）∵四邊形ABQP為平行四邊形，∴AP=BQ，即AD﹣t=BC﹣2t，∴15﹣t=25﹣2t，解得：t=10秒．

（3）由題意可知：，，；

①當(dāng)AP=AQ時(shí)，不存在；

②當(dāng)AP=PQ時(shí)，，，即：，解得：；

③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，即，∴，，

解得（舍去），；

綜上可知，當(dāng)或時(shí)，以A、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

考點(diǎn)：1．梯形；2．一元二次方程的應(yīng)用；3．等腰三角形的性質(zhì)；4．勾股定理；5．平行四邊形的性質(zhì)．