Question

問(wèn)題1：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN，AM，CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不用證明；
問(wèn)題2：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點(diǎn)M，N分別在DA，CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，請(qǐng)你進(jìn)一步探究線段MN，AM，CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

解：（1）MN=AM+CN．
理由如下：
如圖，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBM′，則△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴點(diǎn)M′、C、N三點(diǎn)共線，
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M(jìn)′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；

（2）猜想的結(jié)論：MN=CN-AM．
理由如下：如圖，作∠CBM′=∠ABM交CN于點(diǎn)M′，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
又∵∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠C=∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
∵，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN=M′N，
∵M(jìn)′N=CN-CM′=CN-AM，
∴MN=CN-AM．
分析：（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)M′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，△ABM和△CBM′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點(diǎn)共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）在∠CBN內(nèi)部作∠CBM′=∠ABM交CN于點(diǎn)M′，然后證明∠C=∠BAM，再利用“角邊角”證明△ABM和△CBM′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，再證明∠MBN=∠M′BN，利用“邊角邊”證明△MBN和△M′BN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=M′N，從而得到MN=CN-AM．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的兩底角互補(bǔ)，利用旋轉(zhuǎn)變換作輔助線，構(gòu)造出全等三角形，把MN、AM、CN通過(guò)等量轉(zhuǎn)化到兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵，本題靈活性較強(qiáng)，對(duì)同學(xué)們的能力要求較高．