Question

如圖， 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）。
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）C（0，-1） ∴ 解得：b=-，c=-1， ∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0）（0＜m＜2） ∴OD=m， ∴AD=2-m， 由△ADE∽△AOC得，  ∴， ∴DE=， ∴△CDE的面積=×m =， 當(dāng)m=1時(shí)，△CDE的面積最大， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）；
（3）存在 由（1）知：二次函數(shù)的解析式為 設(shè)y=0，則 解得：x1=2，x2=-1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0） C（0，-1）， 設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b， ∴ 解得：k=-1，b=-1， ∴直線BC的解析式為：y=-x-1， 在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=2，OC=1， 由勾股定理得：AC=， ∵點(diǎn)B（-1，0），點(diǎn)C（0，-1）， ∴OB=OC，∠BCO=45°， ①當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)， 設(shè)P（k，-k-1） 過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于H， ∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中，k2+k2= 解得k1=，k2=-， ∴P1（，-），P2（-，）， ②以A為頂點(diǎn)，即AC=AP= 設(shè)P（k，-k-1）， 過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G， AG=∣2-k∣，GP=∣-k-1∣， 在Rt△APG中，AG2+PG2=AP2 （2-k）2+（-k-1）2=5 解得：k1=1，k2=0（舍） ∴P3（1，-2）， ③以P為頂點(diǎn)，PC=AP， 設(shè)P（k，-k-1）， 過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，PL⊥x軸于點(diǎn)L， ∴L（k，0）， ∴△QPC為等腰直角三角形，PQ=CQ=k， 由勾股定理知，CP=PA=k， ∴AL=∣k-2∣，PL=｜-k-1｜， 在Rt△PLA中，（k）2=（k-2）2+（k+1）2 解得：k= ∴P4（，-）， 綜上所述： 存在四個(gè)點(diǎn)：P1（，-） P2（-，） P3（1， -2） P4（，-）。