Question

3．如圖，D是線段AB的中點，C是線段AB的垂直平分線上的一點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：DE=DF；
（2）當CD與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形CEDF為正方形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由CD垂直平分線AB，可得AC=CB，得出∠ACD=∠BCD，再由∠EDC=∠FDC=90°，可證得△ACD≌△BCD，得出CE=CF即可；
（2）先證明四邊形CEDF是矩形，再證出因此AB=2CD時，四邊形CEDF為正方形．

解答 （1）證明：∵CD垂直平分AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC與△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\\{∠EDC=∠FDC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴DE=DF；
（2）解：當AB=2CD時，四邊形CEDF為正方形．理由如下：
∵AD=BD，AB=2CD，
∴AD=BD=CD．
∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴四邊形DECF是矩形．
又∵DE=DF，
∴四邊形CEDF是正方形．

點評 此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定等知識點；熟練掌握正方形的判定，證明三角形全等是解決問題（1）的關(guān)鍵．