Question

如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線上兩點，AE=CF．
求證：（1）BE=DF；
（2）四邊形BEDF是平行四邊形．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四邊形的對邊平行且相等），
∴∠BAC=∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），即∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠BEA=∠CFD（全等三角形的對應(yīng)角相等）．
∵∠BEF=180°-∠BEA，∠AFD=180°-∠CFD，
∴∠BEF=∠AFD，
∴BE∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；
又由（1）知，BE=DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
分析：（1）由全等三角形△ABE≌△CDF是對應(yīng)邊相等來證得BE=DF；
（2）由平行四邊形的判定定理“對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來證明四邊形BEDF是平行四邊形．
點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．