Question

如圖，拋物線y＝ax²－x－2(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：(1)該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可．

　　(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)證明△ABC是直角三角形來(lái)推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．

　　(3)△MBC的面積可由S_△MBC＝BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．

　　解答：解：(1)將B(4，0)代入拋物線的解析式中，得：

　　0＝16a－×4－2，即：a＝；

　　∴拋物線的解析式為：y＝x²－x－2．

　　(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得：A(－1，0)、C(0，－2)；

　　∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，

　　即：OC²＝OA·OB，又：OC⊥AB，

　　∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA＝∠OBC；

　　∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝∠OBC＋∠OCB＝90°，

　　∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

　　所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：(，0)．

　　(3)已求得：B(4，0)、C(0，－2)，可得直線BC的解析式為：y＝x－2；

　　設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y＝x＋b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：

　　x＋b＝x²－x－2，即：x²－2x－2－b＝0，且Δ＝0；

　　∴4－4×(－2－b)＝0，即b＝4；

　　∴直線l：y＝x－4．

　　由于S_△MBC＝BC×h，當(dāng)h最大(即點(diǎn)M到直線BC的距離最遠(yuǎn))時(shí)，△ABC的面積最大

　　所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：

　　，

　　解得：

　　即M(2，－3)．

　　點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的面積公式是理出思路的關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．