Question

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過(guò)點(diǎn)B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點(diǎn)K．連接CD。
（1）若點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖（1），試證明：
①S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；
②AN=BM；
（2）若點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖（2），則AN與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）①∵AC⊥x軸，AE⊥y軸，
∴四邊形AEOC為矩形，
∵BF⊥x軸，BD⊥y軸，
∴四邊形BDOF為矩形，
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴四邊形AEDK，DOCK，CFBK均為矩形,
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，
∴S_矩形AEOC= OC·AC=x₁·y₁=k,
∵OF=x²，F(xiàn)B=y²，x²·y²=k，
∴S_矩形BDOF =OF·FB=x²·y²=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，
S_矩形CFBK=S_矩形BDOF=S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK，
∴AK·DK=BK·CK，
∴
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD，
∴∠ABK=∠CDK，
∴AB∥CD，
∵AC∥y軸，
∴四邊形ACDN是平行四邊形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM；
（2）AN與BM仍然相等，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，
S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=_{S矩形BDOF=k，
∴S矩形AEDK=S矩形BKCF}，
∴AK·DK=BK·CK，
∴
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴AB∥CD，
∵AC∥y軸，
∴四邊形ANDC是平行四邊形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM。