Question

如圖，二次函數(shù)y=x²﹣x+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′．

（1）若A（﹣4，0），求二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM′的面積；

（3）是否存在拋物線y=x²﹣x+c，使得四邊形AMBM′為正方形？若存在，請求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）125（3）存在拋物線，使得四邊形AMBM′為正方形

【解析】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函數(shù)y=x²﹣x+c的圖象上，

∴×（﹣4）²﹣（﹣4）+c=0，解得c=﹣12。

 

 

 

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為。

（2）∵，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，）。

∵A（﹣4，0），對稱軸為x=1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）�！郃B=6﹣（﹣4）=6+4=10。

∴S_△ABM=。

∵頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′，∴S_{四邊形AMBM′}=2S_△ABM=2×=125。

（3）存在拋物線，使得四邊形AMBM′為正方形。理由如下：

 

 

 

 

 

在y=x²﹣x+c中，令y=0，則x²﹣x+c=0，

設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為A（x₁，0）B（x₂，0），

則x₁+x₂=，x₁•x₂=。

∴。

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：。

∵頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′，四邊形AMBM′為正方形，

 

∴，整理得，4c²+4c﹣3=0，解得c₁=，c₂=﹣。

又拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=b²﹣4ac=（﹣1）²﹣4×c＞0，解得c＜�！郼的值為﹣。

∴存在拋物線，使得四邊形AMBM′為正方形。

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，計(jì)算求出c的值，即可得解。

（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式解析式，根據(jù)對稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出AB的長。根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)M到x軸的距離，然后求出△ABM的面積，根據(jù)對稱性可得S_{四邊形AMBM′}=2S_△ABM，計(jì)算即可得解。

（3）令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的長度，根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等列式求解，如果關(guān)于c的方程有解，則存在，否則不存在。