Question

如圖，A、B兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，且OA=OB=，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在AB、OB上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持∠OPQ=45°不變，設(shè)PA=x，OQ=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）已知點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在以P、Q、O、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）已知點(diǎn)D在AB上，且AD=，試探究：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)第一次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為多少？

Answer 1

解：（1）∵OA=OB=，
∴AB=2，
∵OQ=y，
∴BQ=-y，
∵∠APO=∠PBO+∠BOP=45°+∠BOP，∠BQP=∠BOP+∠OPQ=45°+∠BOP，
∴∠APO=∠BQP，
又∵∠A=∠B=45°，
∴△BQP∽△APO，
∴=，即=，
∴y=．

（2）∵以P、Q、O、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
當(dāng)OP是菱形的對(duì)角線時(shí)，則PQ=OQ，
∵∠OPQ=45°，
∴∠OPQ=∠QOP=45°，
∴∠PQO=90°，
故可得點(diǎn)Q在OB中點(diǎn)處，
如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）；
當(dāng)OP是菱形的一邊時(shí)，
①若OQ=OP，如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；
②若OM=OP，
如圖所示：

此時(shí)△BQP≌△APO，則BP=OA=，AP=AB-BP=2-，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
在等腰直角△APE中，PE==-1，AE=-1，OE=OA-AE=1，
∵四邊形MOPQ為菱形，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-1）；
綜上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（-1，）或（）或（）．

（3）如圖所示：

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)　的3個(gè)界點(diǎn)位置分別是x=0，1，，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，x₁=0時(shí)，y₁=，
當(dāng)點(diǎn)P在P₁處時(shí)，x₂=1時(shí)，y₂=，
故BQ₂=y₁-y₂==，
當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P₃時(shí)，x₃=時(shí)，y₃=，
故Q₂Q₃=y₃-y₂=，
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=BQ₂+Q₂Q₃=+=．
分析：（1）利用外角的知識(shí)先得出∠APO=∠BQP，繼而得出△BQP∽△APO，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，可確定Q的坐標(biāo)，再由菱形的性質(zhì)即可確定M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式，即可得出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及了菱形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的知識(shí)，用到了分類討論的思想，分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中很重要，同學(xué)們注意認(rèn)真掌握．