Question

已知一元二次方程x²+px+q+2=0的一個根為x=3．
（1）試用p的代數(shù)式表示q；
（2）求證：一元二次方程x²+px+q=0一定有兩個不相等的實數(shù)根．

Answer 1

解：（1）把x=3代入方程：9+3p+q+2=0，
∴q=-3p-11；

（2）△=p²-4q=p²-（-3p-11）
=p²+12p+44，
=（p+6）²+8＞0，
∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．
分析：（1）將x=3代入方程：9+3p+q+2=0進(jìn)而得出q與p的關(guān)系；
（2）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△＞0即可，△=（p+6）²+8＞0，因為（p+6）²≥0，可以得到△＞0．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．