Question

（2013•槐蔭區(qū)二模）如圖，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），點(diǎn)C（m，

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）在拋物線的對(duì)稱軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求證：△ABC是等腰三角形．
（3）動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，從點(diǎn)A出發(fā)以每鈔1個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出a、b的值，繼而得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由拋物線解析式可得出m的值，求出CA、CB的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)∠APQ=∠ACB時(shí)，△APQ∽△ACB，②當(dāng)∠APQ=∠ABC時(shí)，△APQ∽△ABC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例解出t的值即可．

解答：解：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：

a+b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴拋物線的函數(shù)解析式是y=x²-4x+3．

（2）拋物線的對(duì)稱軸是x=2，
∵點(diǎn)C（m，

15

）在拋物線對(duì)稱軸上，
∴m=2，
∴點(diǎn)C（2，

15

），
∴CA=

1+15

=4，CB=

1+15

=4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形．

（3）∠A是公共角，
①當(dāng)∠APQ=∠ACB時(shí)，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴

t

4

=

2-t

2

，
解得：t=

4

3

．
②當(dāng)∠APQ=∠ABC時(shí)，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴

t

2

=

2-t

4

，
∴t=

2

3

，
∴當(dāng)t=

4

3

或t=

2

3

時(shí)，△APQ與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問，關(guān)鍵是分類討論，不要漏解，注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．