Question

如圖，已知拋物線與軸交于A(1，0)，B（，0）兩點，與軸交于點C(0，3)，拋物線的頂點為P，連結AC．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與軸交于點Q，求點D的坐標；

(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）設此拋物線的解析式為：

∵拋物線與軸交于A（1，0）、B（兩點，

∴

又∵拋物線與軸交于點C（0，3）

∴，

∴

∴

即

用其他解法參照給分

（2）∵點A（1，0），點C（0，3）

∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥軸

∴△QOC∽△COA

∴，即

∴OQ=9，

又∵點Q在軸的負半軸上，∴Q（

設直線DC的解析式為：，則

    解之得：

∴直線DC的解析式為：

∵點D是拋物線與直線DC的交點，

∴    解之得：    （不合題意，應舍去）

∴點D（

用其他解法參照給分

（3）如圖，點M為直線上一點，連結AM，PC，PA

設點M（，直線與軸交于點E，∴AE=2

∵拋物線的頂點為P，對稱軸為

∴P（

∴PE=4

則PM=

∵S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC

                  =

=

=

又∵S_{四邊形AEPC}= S_△AEP+S_△ACP

S_△AEP=

∴+S_△ACP=

∵S_△MAP=2S_△ACP

∴

∴

∴，

故拋物線的對稱軸上存在點M使S_△MAP=2S_△ACP

點M（或