Question

5．已知拋物線的C₁頂點(diǎn)為E（-1，4），與y軸交于C（0，3）．
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，過頂點(diǎn)E作EF⊥x軸于F點(diǎn)，交直線AC于D，點(diǎn)P、Q分別在拋物線C₁和x軸上，若Q為（t，0），且以E、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求t的值；
（3）如圖2，將拋物線C₁向右平移一個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=kx+6與y軸交于點(diǎn)H，與拋物線C₂交于M、N兩個(gè)不同點(diǎn)，分別過M、N兩點(diǎn)作y軸的垂線，垂足分別為P、Q，當(dāng)k的值在取值范圍內(nèi)發(fā)生變化時(shí)，式子$\frac{1}{HP}$+$\frac{1}{HQ}$的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求其值．（解此題時(shí)不用相似知識(shí)）

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用頂點(diǎn)式待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)一步表示PQ長(zhǎng)度，由平行四邊形的對(duì)邊相等列出方程求解即可；
（3）聯(lián)立直線和拋物線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，表示HP，HQ的長(zhǎng)度，代入化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線C₁的解析式為：y=a（x+1）²+4，把點(diǎn)C（0，3）的坐標(biāo)代入得，a=1，
故拋物線C₁的解析式為：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；
（2）如圖1，

由題意得，PQ∥DE，
由點(diǎn)P（t，0），得點(diǎn)Q（t，-t²-2t+3），
所以有：PQ=|-t²-2t+3|，
y=-（x+1）²+4，令y=0，解得：x=-3，或x=1，
∴點(diǎn)A（-3，0），
運(yùn)用兩點(diǎn)法可求直線AC的解析式為：y=x+3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)D（-1，2），
DE=4-2=2，
由平行四邊形性質(zhì)可得：PQ=DE，
|-t²-2t+3|=2，
解得：t=$-1±\sqrt{2}$，或t=-1$±\sqrt{6}$；
（3）如圖2，

拋物線C₁向右平移一個(gè)單位得到拋物線C₂的解析式為：y=-x²+4，
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4}\\{y=kx+6}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{-k±\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，y=$\frac{-{k}^{2}+12±k\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，
∴HP=$\frac{{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，HQ=$\frac{{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，
HP+HQ=k²，HP×HQ=2k²，
∴$\frac{1}{HP}+\frac{1}{HQ}=\frac{HQ+HP}{HQ×HP}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)用待定系數(shù)法求解析式，知道運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)建立方程并準(zhǔn)確求解，會(huì)求含有字母系數(shù)的方程組，并化簡(jiǎn)分式是解題的關(guān)鍵．