Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E。
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=，求AE的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）如圖1，連接OC， ∵CD為⊙O的切線， ∴OC⊥CD， ∴ ∠OCD＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴ AD∥OC， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA＝OC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3，即AC平分∠DAB； （2）如圖2，∵ AB為⊙O的直徑， ∴ ∠ACB＝90°， 又∵ ∠B＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝， ∴ AC＝2CD＝， 在Rt△ABC中，AC＝， ∴ AB=， 連接OE， ∵∠EAO＝2∠3＝60 °，OA＝OE， ∴△AOE是等邊三角形， ∴AE＝OA＝AB＝4。