Question

18．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為端點(diǎn)引兩條互相垂直的射線OM、ON，分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F．
（1）求證：0E=OF；
（2）若正方形的邊長為4，求EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角邊角”證明△AOE和△BOF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）根據(jù)等腰直角三角形△EOF，當(dāng)OE最小時(shí)，再根據(jù)勾股定理得出EF的最小值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE與△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BOF}\\{OA=OB}\\{∠EAO=∠FBO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF；
（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，當(dāng)OE最小時(shí)，EF的值最小，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=4，
∴OE=2，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
即EF的最小值是2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．正確作出輔助線是關(guān)鍵．