Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=4，點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D，過點C作CE∥AB交直線l于E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）當α=______時，ED=BC（但ED不平行于BC），此時AD=______；
（2）當α=______時，ED⊥AB，此時AD=______；
（3）試判斷EDBC能否為菱形？若能，寫出此時α的大小，并證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵CE∥AB，ED=BC（但ED不平行于BC），
∴四邊形BCDE是等腰梯形，
∴∠BDE=∠B，
在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴α=∠BDE-∠A=60°-30°=30°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠OCE，
∵點O是AC的中點，
∴AO=CO，
在△AOD和△COE中，，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，
∵α=∠A=30°，
∴AD=OD，
∴AD=DE=BC=×4=2；

（2）∵ED⊥AB，
∴α=90°-∠A=90°-30°=60°，
在△ABC中，∵∠B=60°，BC=4，
∴AC=BC•tan60°=4×=4，
∵點O是AC的中點，
∴AO=AC=×4=2，
∴AD=AC•cos30°=2×=3；

（3）存在點D為AB的中點時，四邊形EDBC為菱形．
此時，BD=AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，
∴BD=BC，
∵點O是AC的中點，點D是AB的中點，
∴DE∥BC，
又∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形，
∴平行四邊形EDBC是菱形，
∴α=∠AOD=∠ABC=90°，
即旋轉(zhuǎn)角α=90°．
分析：（1）先判定四邊形BCDE是等腰梯形，再根據(jù)等腰梯形同一底上的兩底角相等求出∠BDE=∠B，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A=30°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進行計算即可得解，再證明△AOD和△COE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD=OE，然后求解即可；
（2）在Rt△AOD中，利用直角三角形兩銳角互余列式求解即可得到α值，解直角三角形求出AC的長，再根據(jù)中點的定義求出AO，然后利用∠A的余弦值求解即可得到AD的長；
（3）存在點D為AB的中點時，四邊形EDBC為菱形．再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半BC=BD=AB，然后根據(jù)菱形的判定方法即可判定再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得α=∠ACB．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大．