Question

如圖，矩形OABC，A（5，0），C（0，3）．直線y=kx交折線A-B-C于點(diǎn)P，點(diǎn)A關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)A′
（1）當(dāng)A′恰好在CB邊上時(shí)，C A′=

4

，k=

1

3

（2）k=

3

3

時(shí)，經(jīng)過O、A、A′的拋物線恰好以A′為頂點(diǎn)，該拋物線的解析式是

y=-

2

5

3

x(x-5)或y=-

2

5

3

(x-

5

2

)2+

5

2

3

（3）若P在AB邊上，A′在CB上方時(shí)，A′O、A′P交CB邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．求k為何值時(shí)△A′EF≌△BPF？并說明理由．
（4）以O(shè)P為直徑作⊙M，則⊙M與矩形OABC最多有

6

個(gè)公共點(diǎn)，并寫出公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí)k的取值范圍

11

60

＜k＜

60

91

且k≠

3

5

（直接寫答案）

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接OA′，AA′．設(shè)A′（x，3）．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及勾股定理求得CA′=4，然后結(jié)合A（5，0）求得AA′的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4.5，1.5），從而求得k的值；
（2）因?yàn)樵搾佄锞�經(jīng)過點(diǎn)O、A，故可設(shè)交點(diǎn)式函數(shù)解析式y(tǒng)=ax（x-5）（a＜0）．由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得A′的坐標(biāo)，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)來求a的值；
（3）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等、勾股定理以及正切函數(shù)的定義來求k的值．
（4）根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)圖形回答問題．

解答：解：（1）如圖1，連接OA′，AA′．設(shè)A′（x，3）（0＜x＜5）．
∵在矩形OABC中，A（5，0），C（0，3），
∴OA=5，OC=3．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線OP對(duì)稱，
∴OA′=OA=5，
∴在Rt△OCA′中，利用勾股定理知，CA′=

OA′2-OC2

=

52-32

=4，
即C A′=4，
∴A′（4，3），
∴線段AA′的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4.5，1.5）在直線OP上，
∴k=

1.5

4.5

=

1

3

．

（2）∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、A，
∴可設(shè)交點(diǎn)式函數(shù)解析式y(tǒng)=ax（x-5）（a＜0），即y=a（x-

5

2

）²-

25

4

a．
∵該拋物線以點(diǎn)A′為頂點(diǎn)，
∴A′（

5

2

，-

25

4

a）．
∴k_AA′=

- 25 4 a

5 2 -5

=

5

2

a，線段AA′的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（

15

4

，-

25

8

a）．
又∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線OP對(duì)稱，
∴線段AA′的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（

15

4

，-

25

8

a）在直線OP上，
則

5 2 a•k=-1 k= - 25 8 a 15 4

，
解得，

a=- 2 5 3 k= 3 3

，
∴該拋物線的解析式是y=-

2

5

3

x(x-5)或y=-

2

5

3

(x-

5

2

)2+

5

2

3

；

（3）當(dāng)k=

3

7

時(shí)，△A′EF≌△BPF．理由如下：
如圖2，設(shè)P（5，y）．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線OP對(duì)稱，
∴△OAP≌△OA′P，
∴AP=A′P，OA=OA′=5．
∵△A′EF≌△BPF，
∴A′F=FB，A′E=BP，∠A′=∠B=90°，∠A′EF=∠BPF，
∴∠CEO=∠BPF，
∴

3 5-PF-BF = BF 3-y PF2=BF2+(3-y)2 y=PF+BF

，
解得，y=

15

7

，則k=

15 7

5

=

3

7

；

 （4）如圖3，最多有6個(gè)交點(diǎn)，k的取值范圍是：

11

60

＜k＜

60

91

且k≠

3

5

．
當(dāng)0＜k＜

11

60

時(shí)，有4個(gè)共同點(diǎn)
k=

11

60

或

60

91

時(shí)，有5個(gè)共同點(diǎn)；
k=

3

5

時(shí)，有4個(gè)共同點(diǎn)．
故答案是：4，

1

3

；

3

7

；k=

3

3

，y=-

2

5

3

x(x-5)或y=-

2

5

3

(x-

5

2

)2+

5

2

3

；6，

11

60

＜k＜

60

91

且k≠

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．注意，方程組的解法的應(yīng)用．