Question

（9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若弧AE=弧DE，DF=2，求弧AD的長．

Answer 1

（1）見證明（2）

解析試題分析：
（1）證明：連結(jié)OD--------------------1分

∵AB=AC，∴∠C=∠B.
∵OD=OB，∴∠B=∠1.
∴∠C=∠1.  --------------------2分
∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO.-----------------3分
∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD且D點在⊙O 上
∴FD是圓O的切線. ------------------------------4分
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°.
∵AC=AB，∴∠3=∠4-------------------------5分
∴，∵，∴----6分
∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等邊三角形, ∠C=60°. ------------7分
在Rt△CFD中, ∵∠C=60°，∴∠CDF=30°
∵DF="2" ∴CD=∴DB=，AB=BC=
∴AO=.----------------------------8分
∴.---
考點：本題考查了切線的性質(zhì)和運用
點評：此類試題屬于難度較大的試題，考生在解答此類試題時要注意分析切線的基本性質(zhì)定理及其在證明題中的應用