Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．
（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；
第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．
第三步，連接BD．
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若AD=5，AE=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：切線的判定,作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）連接OD，只要求出OD⊥DE，即可得出答案；
（3）求出△EAD∽△DAB，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）解：如圖
；

（2）證明：連接OD，

∴∠ODA=∠DAO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（3）解：∵AB為直徑，DE⊥AC，
∴∠BDA=∠E=90°，
∵∠EAD=∠DAB，
∴△EAD∽△DAB，
∴

AE

AD

=

AD

AB

，
∴

4

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

4

，
∴⊙O的直徑是

25

4

．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較典型，是一定比較好的題目，難度適中．