Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，BP²=BD?BC；

（3）當(dāng)△PCD的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（，0）；（3）（1，0）

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax²+bx﹣4過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣2，0）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（x，0）時，有BP²=BD?BC，在中，令x=0時，則y=﹣4，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）由△BPD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)

∴，解得

∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（x，0）時，有BP²=BD?BC，

在中，令x=0時，則y=﹣4

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）

∵PD∥AC

∴△BPD∽△BAC

∴

∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2

∴，即 

∵BP²=BD?BC，

∴，解得x₁=，x₂=﹣2（不合題意，舍去）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，0）

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到（，0）時，BP²=BD?BC；

（3）∵△BPD∽△BAC，

∴

∴，

又∵，

∴

∵＜0，∴當(dāng)x=1時，S_△BPC有最大值為3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時，△PDC的面積最大。

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.