Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，-$\sqrt{2}$）、（2$\sqrt{2}$，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到矩形OA′B′C′，邊A′B′與y軸交于點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、C′．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）寫(xiě)出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是邊OC′上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OC′，交拋物線位于y軸右側(cè)部分于點(diǎn)Q，連接OQ、DQ，設(shè)△ODQ的面積為S，當(dāng)直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1：3的兩部分時(shí)，求S的值；
（4）保持矩形OA′B′C′不動(dòng)，將矩形OABC沿射線OC'方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)平移時(shí)間為t秒（t＞0）．當(dāng)矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對(duì)稱多邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx解方程組即可．
（2）如圖1中，連接A′C′，OB′交于點(diǎn)E．求出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形①當(dāng)OP：PC′=1：3時(shí)，P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），求出直線PQ的解析式，利用方程組求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．②當(dāng)OP′：P′C′=3：1時(shí)，P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），方法類似．
（4）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)A在A′B′上時(shí)，重疊部分是四邊形AMON，是軸對(duì)稱圖形，由OM=AM時(shí)，此時(shí)$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，解得t=2-$\sqrt{2}$，如圖4中，當(dāng)點(diǎn)B平移到y(tǒng)軸上時(shí)，重疊部分是四邊形OA′MB是軸對(duì)稱圖形，如圖5中，當(dāng)點(diǎn)B平移到A′B′上時(shí)，重疊部分是△A′BM是等腰直角三角形，是軸對(duì)稱圖形，此時(shí)由OM=BM，得到$\sqrt{2}$（t-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-（t-2$\sqrt{2}$），解得t=2+$\sqrt{2}$，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

由題意A′（-1，-1），C′（2，-2），把A′（-1，-1），C′（2，-2）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{4a+2b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x．

（2）如圖1中，連接A′C′，OB′交于點(diǎn)E．
∵四邊形OA′B′C′是矩形，
∴A′E=EC′，OE=EB′，
∵A′（-1，-1），C′（2，-2），
∴E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴B′（1，-3）．

（3）如圖2中，∵直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1：3的兩部分，
∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．

①當(dāng)OP：PC′=1：3時(shí)，P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
直線PQ的解析式為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{7}}{2}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{7}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{7}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{7}}{2}}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)Q在第四象限，
∴Q（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{7}}{2}$）．
∵D（0，-2），
∴S_△ODQ=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
②當(dāng)OP′：P′C′=3：1時(shí)，P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴直線P′Q′的解析式為y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{19}}{2}}\\{y=\frac{-7+\sqrt{19}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{19}}{2}}\\{y=\frac{-7-\sqrt{19}}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q′（$\frac{-1+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{19}}{2}$），
∴S_△ODQ′=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{-1+\sqrt{19}}{2}$=$\frac{\sqrt{19}-1}{2}$．

（4）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)A平移到在A′B′上時(shí)，重疊部分是四邊形AMON，是軸對(duì)稱圖形，由OM=AM時(shí)，此時(shí)$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，解得t=2-$\sqrt{2}$，
如圖4中，當(dāng)點(diǎn)B平移到y(tǒng)軸上時(shí)，重疊部分是四邊形OA′MB是軸對(duì)稱圖形，此時(shí)t=2$\sqrt{2}$．

如圖5中，當(dāng)點(diǎn)B平移到A′B′上時(shí)，重疊部分是△A′BM是等腰直角三角形，是軸對(duì)稱圖形，
此時(shí)由OM=BM，得到$\sqrt{2}$（t-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-（t-2$\sqrt{2}$），解得t=2+$\sqrt{2}$，

綜上所述，矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對(duì)稱多邊形時(shí)，t=2-$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$≤t＜2$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、三角形的面積、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)畫(huà)好圖象，利用圖象解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．