Question

已知，如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側(cè)），點H、B關(guān)于直線l：對稱。
（1）求A、B兩點坐標(biāo)，并證明點A在直線l上；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值。

Answer 1

解：（1）依題意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0）， 解得x1=﹣3，x2=1， ∵B點在A點右側(cè)， ∴A點坐標(biāo)為（﹣3，0），B點坐標(biāo)為（1，0）， 答：A、B兩點坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（1，0）， 證明：∵直線l：， 當(dāng)x=﹣3時，， ∴點A在直線l上；
（2）∵點H、B關(guān)于過A點的直線l：對稱， ∴AH=AB=4， 過頂點H作HC⊥AB交AB于C點， 則，， ∴頂點， 代入二次函數(shù)解析式，解得， ∴二次函數(shù)解析式為， 答：二次函數(shù)解析式為；
（3）直線AH的解析式為， 直線BK的解析式為， 由， 解得， 即，則BK=4， ∵點H、B關(guān)于直線AK對稱， ∴HN+MN的最小值是MB，， 過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E， 則QM=MK，，AE⊥QK， ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值， ∵BK∥AH， ∴∠BKQ=∠HEQ=90°， 由勾股定理得QB=8， ∴HN+NM+MK的最小值為8， 答：HN+NM+MK和的最小值是8。