Question

10．閱讀理解：
提出問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以先從一些簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手：
當(dāng)AP=$\frac{1}{2}$AD時(shí)（如圖2）：
∵AP=$\frac{1}{2}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABD
∵PD=AD-AP=$\frac{1}{2}$AD，△CDP和△CDA的高相等
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP=S_{四邊形ABCD}-$\frac{1}{2}$S_△ABD-$\frac{1}{2}$S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-$\frac{1}{2}$ （S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{1}{2}$ （S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）=$\frac{1}{2}$S_△DBC+$\frac{1}{2}$S_△ABC
（1）當(dāng)AP=$\frac{1}{3}$AD時(shí)，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式并證明；
（2）當(dāng)AP=$\frac{1}{6}$AD時(shí)，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式為：S_△PBC=$\frac{1}{6}$S_△DBC+$\frac{5}{6}$S_△ABC；
（3）一般地，當(dāng)AP=$\frac{1}{n}$AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系為：S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC；
（4）當(dāng)AP=$\frac{a}$AD（0≤$\frac{a}$≤1）時(shí)，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式為：S_△PBC=$\frac{a}$S_△DBC+$\frac{a-b}{a}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABP和△ABD的高相等，得到S_△ABP=$\frac{1}{3}$S_△ABD，根據(jù)△CDP和△CDA的高相等，得到S_△CDP=$\frac{1}{3}$S_△CDA，結(jié)合圖形計(jì)算即可；
（2）仿照（1）的作法解答；
（3）根據(jù)AP=$\frac{1}{n}$AD，△ABP和△ABD的高相等，得到S_△ABP=$\frac{1}{n}$S_△ABD，PD=AD-AP=$\frac{n-1}{n}$AD，根據(jù)△CDP和△CDA的高相等，得到S_△CDP=$\frac{n-1}{n}$S_△CDA，整理即可；
（4）與（3）的解答方法類似，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵AP=$\frac{1}{3}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{3}$S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=$\frac{1}{3}$AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=$\frac{1}{3}$S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-$\frac{1}{3}$S_△ABD-$\frac{1}{3}$S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-$\frac{1}{3}$（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{2}{3}$（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=$\frac{1}{3}$S_△DBC+$\frac{2}{3}$S_△ABC．
∴S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_△DBC+$\frac{2}{3}$S_△ABC
（2）由（1）得，S_△PBC=$\frac{1}{6}$S_△DBC+$\frac{5}{6}$S_△ABC；
（3）S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC；
∵AP=$\frac{1}{n}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{n}$S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=$\frac{n-1}{n}$AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=$\frac{n-1}{n}$S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-$\frac{1}{n}$S_△ABD-$\frac{n-1}{n}$S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-$\frac{1}{n}$（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{n-1}{n}$（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC．
∴S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC
（4）由（3）得，S_△PBC=$\frac{a}$S_△DBC+$\frac{a-b}{a}$S_△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的面積的計(jì)算，掌握高相等的兩個(gè)三角形的面積比等于底的比是解題的關(guān)鍵．