Question

如圖，已知直線y=x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C從A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿A→O移動(dòng)（C與A，O不重合），果C作CD∥AB，交y軸于點(diǎn)D，將四邊形ACDB沿CD對(duì)折，可得四邊形CEFD，設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直線y=x+8與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A

 

，B

 

．
（2）在圖①中畫(huà)出四邊形ACDB沿CD對(duì)折后的圖形（不寫(xiě)畫(huà)法）．
（3）若EF交x軸于G點(diǎn)，求證：四邊形CGFD為平行四邊形；并求t為何值時(shí)，四邊形CGFD為菱形（計(jì)算結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）．
（4）設(shè)四邊形DCEF落在第三象限內(nèi)的圖形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得軸對(duì)稱(chēng)圖形；
（3）根據(jù)對(duì)應(yīng)線段平行于對(duì)稱(chēng)軸，可得EF與CD的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠ABO，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠CDO，根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得∠BDC，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得∠CDF，根據(jù)角的和差，可得∠BDF，根據(jù)平行四邊形的判定，可得CGFD為平行四邊形；根據(jù)等腰梯形的判定，可得BD與AC的關(guān)系，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得DF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得CD的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的判定，可得答案；
（4）分類(lèi)討論：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；當(dāng)4＜t＜8時(shí)，根據(jù)面積的和差，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）（-8，0），（0，8）；
（2）如圖1：
；
四邊形CEFD即為四邊形ACDB沿CD對(duì)折后的圖形，
（3）∵四邊形CEFD與四邊形ACDB關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng)，CD∥AB，
∴EF∥CD．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=135°．∠CDF=∠CDB=135°．∠BDF=360°-2×135°，即DF⊥y軸，
∴DF∥CG，
∴四邊形CGFD是平行四邊形．
如圖2，要使四邊形CGFD為菱形，只需CD=DF．

∵AB∥CD，∠CAB=∠DBA，
∴AC=BD．
∴DF=BD=AC=t．
又∵OC=OD=8-t，
∴CD=

2

（8-t）．
∴

2

（8-t）=t．
∴t=

8 2

1+ 2

=16-8

2

，
當(dāng)t=16-8

2

時(shí)，四邊形CGFD為菱形；
（4）分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，四邊形CEFD落在第三象限內(nèi)的圖形是△CEG，
∴S=

1

2

t²，∵S=

1

2

t²在t＞0時(shí)，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=4時(shí)，S_最大=

1

2

×4²=8；
②當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖3，
，
四邊形CEFD落在第三象限內(nèi)的圖形是CEHO，其中H為EF與y軸的交點(diǎn)，
CG=CE=t，CO=8-t，OG=OH=t-（8-t）=2t-8，
∴S_{四邊形COHE}=S_△CEG-S_△OGH
S=

1

2

t²-

1

2

（2t-8）²=-

3

2

t²+16t-32=-

3

2

（t-

16

3

）²+

32

3

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
當(dāng)t=

16

3

時(shí)，S_最大=

32

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）利用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；（3）利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定；（3）利用了三角形面積公式，面積的和差，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用知識(shí)點(diǎn)多綜合性較強(qiáng)．