Question

已知點O是平面直角坐標(biāo)系的原點，直線y=-x+m+n與雙曲線交于兩個不同的點A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直線y=-x+m+n與y軸交于點C，求△OBC的面積S的取值范圍．

Answer 1

解：如圖，C點坐標(biāo)為（0，m+n），D點坐標(biāo)為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，
∴點A與點B關(guān)于直線y=x對稱，則B點坐標(biāo)為（n，m），
∴S=S_△OBC=（m+n）•n=mn+n²，
∵點A（m，n）在雙曲線上，
∴mn=1，即n=
∴S=+（）²
∵m≥2，
∴0＜≤，
∴0＜（）²≤，
∴＜S≤．
分析：先確定直線y=-x+m+n與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即C點坐標(biāo)為（0，m+n），D點坐標(biāo)為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得到點A與點B關(guān)于直線y=x對稱，則B點坐標(biāo)為（n，m），根據(jù)三角形面積公式得到S_△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2確定S的范圍．
點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．