Question

11．如圖，拋物線y=ax²+3x交x軸正半軸于點(diǎn)A（6，0），頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸MB交x軸于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C（2，0）作射線CD交MB于點(diǎn)D（D在x軸上方），OE∥CD交MB于點(diǎn)E，EF∥x軸交CD于點(diǎn)F，作直線MF．
（1）求a的值及M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)BD為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在該拋物線上？
（3）當(dāng)∠DCB=45°時(shí)：
①求直線MF的解析式；
②延長(zhǎng)OE交FM于點(diǎn)G，四邊形DEGF和四邊形OEDC的面積分別記為S₁、S₂，則S₁：S₂的值為$\frac{5}{7}$．（直接寫答案）

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+3x中可求出a的值，從而得到拋物線解析式，然后把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）易得四邊形OCFE為平行四邊形，則EF=OC=2，所以F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，利用拋物線解析式可確定F（5，$\frac{5}{2}$），則BE=$\frac{5}{2}$，然后證明△BCD∽△EFD，利用相似比可求出BD的長(zhǎng)；
（3）①先證明△BOE和△BCD為等腰直角三角形，則BE=OE=3，則E（3，3），BD=BC=1，同時(shí)可得到直線OE的解析式為y=x，再利用EF∥OC，EF=OC=2得到F（5，3），然后利用待定系數(shù)法求直線MF的解析式；
②通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}}\end{array}\right.$得G點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式，利用S₁=S_△GEF+S_△DEF求S₁的值，利用S₂=S_△BOE-S_△BCD求S₂的值，從而可得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：（1）把A（6，0）代入y=ax²+3x得36a+18=0，解得a=-$\frac{1}{2}$；
拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x，
∵y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$\frac{9}{2}$）；
（2）∵CF∥OE，EF∥OC，
∴四邊形OCFE為平行四邊形，
∴EF=OC=2，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，B（3，0），
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
當(dāng)x=5時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x²+3x=$\frac{5}{2}$，即F（5，$\frac{5}{2}$），
∴BE=$\frac{5}{2}$，
∵EF∥BC，
∴△BCD∽△EFD，
∴$\frac{BD}{ED}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{6}$，
即當(dāng)BD為$\frac{5}{6}$時(shí)，點(diǎn)F恰好落在該拋物線上；
（3）①∵CD∥OE，
∴∠BOE=∠DCB=45°
∴△BOE為等腰直角三角形，
∴BE=OE=3，則E（3，3），
∴直線OE的解析式為y=x，
同理可得△BCD為等腰直角三角形，
∴BD=BC=1，
∴DE=2，
∵EF∥OC，EF=OC=2，
∴F（5，3），
設(shè)直線MF的解析式為y=kx+b，
把M（3，$\frac{9}{2}$），F(xiàn)（5，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=\frac{9}{2}}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{27}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線MF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{27}{4}$；
②解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{7}}\\{y=\frac{27}{7}}\end{array}\right.$，則G（$\frac{27}{7}$，$\frac{27}{7}$），
∴S₁=S_△GEF+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{27}{7}$-3）+$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{20}{7}$，
S₂=S_△BOE-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×1=4，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{20}{7}}{4}$=$\frac{5}{7}$．
故答案為$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住三角形面積公式．