Question

如圖，AC切⊙O于點C，AB過圓心O交⊙O于點B、D，且AC=BC，
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）首先連接OC，由AC切⊙O于點C，可得OC⊥AC，然后設∠A=x°，由AB=AC以及圓周角定理，可得∠B=x°，∠AOC=2x°，繼而求得答案；
（2）首先連接CD，易得△OCD是等邊三角形．繼而可由S_陰影=S_△ACO-S_扇形ODC求得答案．

解答：解：（1）連接OC．
∵AC切⊙O于點C，
∴OC⊥AC．
∴∠ACO=90°，
設∠A=x°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=x°．
∴∠AOC=∠OCB+∠B=2x°．
在Rt△ACO中，
∵∠A+∠AOC=90°，
∴x+2x=90．
∴x=30．
即∠A=30°．

（2）連接DC．
在Rt△ACO中，∠AOC=90°-∠A=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形．
∴CD=OD=2，∠AOC=60°．
∵BD是直徑，
∴∠DCB=90°，BD=4．
由勾股定理得BC=2

3

．
∴AC=BC=2

3

．
∴S_△ACO=

1

2

AC•OC=2

3

，
S_扇形ODC=

60

360

π•2²=

2

3

π，
∴S_陰影=S_△ACO-S_扇形ODC=2

3

-

2

3

π．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．