Question

如圖，已知拋物線y=x²+1，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）。

（1）求b的值；
（2）將直線y=kx+b繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到與x軸平行的位置時(shí)（如圖1），直線與拋物線y=x²+1相交，其中一個交點(diǎn)為P，求出P的坐標(biāo)；
（3）將直線y=kx+b繼續(xù)繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，與拋物線y=x²+1相交，其中一個交點(diǎn)為P'（如圖②），過點(diǎn)P'作x軸的垂線P'M，點(diǎn)M為垂足，是否存在這樣的點(diǎn)P'，使△P'BM為等邊三角形？若存在，請求出點(diǎn)P'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx+b過點(diǎn)B（0，2）
∴b=2；
（2）y=kx+b繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，即y=2，
依題意有：，x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P'（x₀，y₀），使△P'BM為等邊三角形，
如圖，則∠BP'M=60°，P'M=y₀，P'B=2（P'M-2）=2（y₀-2），
且P'M=P'B
即y₀=2（y₀-2），
y₀=4，
又點(diǎn)P′在拋物線y=x²+1上，
∴x²+1=4，
x=±2，
∴當(dāng)直線y=kx+b繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)時(shí)與拋物線y=x²+1相交，
存在一個交點(diǎn)P′（2，4）或P′（-2，4），
使△P'BM為等邊三角形。