Question

10．如圖，已知梯形ABCD，AC∥BD，點E在CD上，有下列五個條件：
①AE平分∠CAB；②BE平分∠DBA；③AE⊥BE；④CE=DE；⑤AB=AC+BD
請從五個件中任意選出兩個作為條件，另外三個作為結論，組成一個真命題，并說明理由．
（備注：寫出所有能成真命題的組合，并給出證明）

Answer 1

分析 在AB上取一點F，使AF=AC，連結EF，就可以得出△ACE≌△AFE，就有∠C=∠AFE．由平行線的性質就有∠C+∠D=180°，由∠AFE+∠EFB=180°得出∠EFB=∠D，再證明△BEF≌△BED，進而就可以得出結論．

解答 組合問題：已知梯形ABCD，AC∥BD，點E在CD上，AE平分∠CAB，BE平分∠DBA；
求證：（1）AB=AC+BD；
（2）AE⊥BE．
證明：在AB上取一點F，使AF=AC，連結EF．
∵EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
在△ACE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠D，
在△BEF和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFB=∠D}\\{∠EBF=∠EBD}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴BF=BD，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AC+BD；
（2）∵△ACE≌△AFE，
∴∠CEA=∠FEA，
∵△BEF≌△BED，
∴∠FEB=∠DEB，
∴∠AFE+∠FEB=90°，
∴AE⊥BE．

點評 本題考查了平行線的性質的運用，角平分線的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．