Question

如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上。
（1）證明：B、C、E三點共線；
（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；
（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后，記為△D₁CE₁（圖2），若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，M₁N₁=OM₁是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵AB是直徑， ∴∠BCA=90°， 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， ∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°， ∴B、C、E三點共線；
（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖， ∵CB=CA，CD=CE， ∴Rt△BCD≌Rt△ACE， ∴BD=AE，∠EBD=∠CAE， ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°， 即BD⊥AE， 又∵M(jìn)是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點， ∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM； ∴ON=OM，ON⊥OM， 即△ONM為等腰直角三角形， ∴MN=OM；
（3）成立，理由如下： 和（2）一樣，易證得Rt△BCD1≌Rt△ACE1， 同理可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形，從而有M1N1=OM1。