Question

19．如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A、D、G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC、CG、AE，并延長AE交OG于點H．
（1）求證：∠DAE=∠DCG．
（2）求線段HE的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明：∠DAE=∠DCG，只要證明△GDC≌△EDA即可；
（2）由S_△AGC=$\frac{1}{2}$•AG•DC=$\frac{1}{2}$•GC•AH，求出AH，根據(jù)EH=AH=AE計算即可；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，
∴DG=DE，DC=DA，∠ADE=∠GDC=90°
在△GDC和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠GDC=∠EDA}\\{DC=DA}\end{array}\right.$，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠DCG=∠DAE，

（2）解：∵△GDC≌△EDA，AD=3，DE=1，
∴GC=AE=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，
∴∠DCG+∠HEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AH⊥GC，
∵S_△AGC=$\frac{1}{2}$•AG•DC=$\frac{1}{2}$•GC•AH，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×AH，
∴AH=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，
∴EH=AH-AE=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．