Question

9．（1）將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是′D，∠CAC′=90°．

（2）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出與BC相等的線段、∠CAC′的度數(shù)；
（2）根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理證明△APE≌△BGA，得到EP=AG，同理證明FQ=AG，得到答案；
（3）作EP⊥GA交GA的延長線于P，作FQ⊥GA交GA的延長線于Q，證明△APE∽△BGA和△AQF∽△CGA即可．

解答 解：（1）如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ABC≌△A′C′D，
∴BC=A′D，∠ACB=∠C′AD，又∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°，即∠CAC′=90°，
故答案為：A′D；=90°；

（2）EP=FQ，
證明：∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠EAP=∠ABG，
在△APE和△BGA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠ABG}\\{∠APE=∠BGA}\\{EA=BA}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BGA，
∴EP=AG，
同理，F(xiàn)Q=AG，
∴EP=FQ；

（3）HE=HF，
證明：作EP⊥GA交GA的延長線于P，作FQ⊥GA交GA的延長線于Q，
∵四邊形ABME是矩形，
∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠EAP=∠ABG，又∠APE=∠BGA=90°，
∴△APE∽△BGA，
∴$\frac{EP}{AG}=\frac{EA}{AB}$=$\frac{1}{k}$，即AG=kEP，
同理△AQF∽△CGA，
∴$\frac{AG}{FQ}=\frac{AC}{AF}$=k，即AG=kFQ，
∴EP=FQ，
∵EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，
∴EP∥FQ，又EP=FQ，
∴HE=HF．

點(diǎn)評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)變換中對應(yīng)邊、對應(yīng)角的確定．