Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)若AB＝3 cm，BC＝5 cm，AE＝AB，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1 cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過多少時(shí)間，△BEP為等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)證明：在△ABC和△CDA中 　　 　　∴△ABC≌△CDA， 　　∴AD＝BC，AB＝CD， 　　∴四邊形ABCD是平行四邊形． 　　(2)答：從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過2 s或s或s或s時(shí)，△BEP為等腰三角形． 　　解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3， 　　由勾股定理得：AC＝4， 　　即AB、CD間的最短距離是4， 　　設(shè)經(jīng)過ts時(shí)，△BEP是等腰三角形， 　　當(dāng)P在BC上時(shí)， 　�、貰E＝BP＝2， 　　t＝2時(shí)，△BEP是等腰三角形； 　�、贐P＝PE， 　　作PM⊥AB于M， 　　∵cosB＝＝＝， 　　∴BP＝， 　　t＝時(shí)，△BEP是等腰三角形； 　�、跙E＝PE＝2，作EN⊥BC于N， 　　∴cosB＝＝， 　　∴＝， 　　BN＝， 　　∴BP＝， 　　t＝時(shí)，△BEP是等腰三角形； 　　當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形， 　　∵AB、CD間的最短距離是4，CA⊥AB，CA＝4， 　　當(dāng)P在AD上時(shí)，只能BE＝EP＝2， 　　過P作PQ⊥BA于Q， 　　∵平行四邊形ABCD， 　　∴AD∥BC， 　　∴∠NAD＝∠ABC， 　　∵∠BAC＝∠N＝90°， 　　∴△QAP∽△ABC， 　　∴PQ∶AQ∶AP＝4∶3∶5， 　　設(shè)PQ＝4x，AQ＝3x， 　　在△EPQ中，由勾股定理得：(3x＋1)2＋(4x)2＝22， 　　∴x＝， 　　AP＝5x＝， 　　∴t＝5＋5＋3－＝， 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 　　分析：(1)根據(jù)全等三角形判定證△ABC≌△CDA即可； 　　(@)求出AC，當(dāng)P在BC上時(shí)，①BE＝BP＝2，②BP＝PE，作PM⊥AB于M，根據(jù)cosB求出BP，③BE＝PE＝2，作EN⊥BC于N，根據(jù)cosB求出BN；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；當(dāng)P在AD上時(shí)，過P作PN⊥BA于N，證△NAP∽△ABC，推出PN∶AN∶AP＝4∶3∶5，設(shè)PN＝4x，AN＝3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程(3x＋1)2＋(4x)2＝22，求出方程的解即可．