Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點， 過C點的切線與AB的延長線交于點D，CE∥AB交⊙O于點E ，連結(jié)AC、BC、AE。
（1）求證：①∠DCB=∠CAB； 
②CD·CE=CB·CA；
（2）作CG⊥AB于點G。若（k＞1），求的值（用含k的式子表示）。

Answer 1

（1）證明：①如圖1，
解法一：作直徑CF，連結(jié)BF
∴ ∠CBF=90°，
則 ∠CAB=∠F =90°-∠1
∵ CD切⊙O于C，
∴ OC⊥CD ，
則 ∠BCD =90°-∠1
∴ ∠BCD =∠CAB

解法二：如圖2，連結(jié)OC
∵ AB是直徑，
∴ ∠ACB=90°
則∠2 =90°-∠OCB
∵ CD切⊙O于C，
∴ OC⊥CD
則 ∠BCD =90°-∠OCB
∴ ∠BCD =∠2
∵ OA=OC，
∴ ∠2 =∠CAB
∴ ∠BCD =∠CAB 
② ∵ EC∥AB ，∠BCD =∠3，
∴ ∠4 =∠3=∠BCD
∵ ∠CBD+∠ABC=180°，
∵ ∠AEC+∠ABC=180°，
∴ ∠CBD=∠AEC
∴ △ACE∽△DCB
∴
∴

（2）連結(jié)EB，交CG于點H，
∵ CG⊥AB于點G， ∠ACB=90°
∴ ∠3=∠BCG
∵ ∠3 =∠4
∴
∴ ∠3=∠EBG
∴ ∠BCG=∠EBG
∵ （k＞1），
∴ 在Rt△HGB中，
在Rt△BCG中，
設HG =a，則BG= ka，CG= k²a。CH=CG-HG=（k²-1）a
∵ EC∥AB ，
∴ △ECH∽△BGH
∴
解法二： 如圖3，
作直徑FC，連結(jié)FB、EF，則∠CEF=90°
∵CG⊥AB于點G，
在Rt△ACG中，
設CG =a，則AG= ka，，CF=AB=AG+BF=（）a
∵ EC∥AB ， ∠CEF=90°，
∴直徑AB⊥EF
∴EF=2CG= a
EC=
∴

解法三：如圖4，
作EP⊥AB于點P，
在Rt△ACG中，
設CG =a，則AG= ka，，
可證△AEP≌△BCG，
則有
EC=AG-AP=
∴。