Question

如圖1，已知C、D是雙曲線在第一象限內(nèi)的分支上兩點(diǎn)，直線CD分別交x軸、y軸于A、B，CG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，==，OC=．
（1）求m的值和D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在雙曲線第一象限內(nèi)的分支上是否有一點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，點(diǎn)K是雙曲線在第三象限內(nèi)的分支上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作KM⊥y軸于M，OE平分∠KOA，KE⊥OE，KE交y軸于N，直線ME交x軸于F，①，②，有一個(gè)為定值，請(qǐng)你選擇正確結(jié)論并求出這個(gè)定值．

Answer 1

解：（1）∵（已知），
∴設(shè)OG=a，GC=4a
∵OG²+GC²=OC²（勾股定理），OC=，
∴
∴a²=1
∵a＞0，
∴a=1，
∴OG=1，GC=4，
∴C（1，4）；
把 C（1，4）代入得：m=1×4=4，即m=4；
∵=（已知）
∴設(shè)DH=b，OH=4b，
∴D（4b，b），
把D（4b，b）代入得：4b²=4b=1
∵b＞0，∴b=1
∴DH=1，OH=4，
∴D（4，1）；

（2）在雙曲線第一象限內(nèi)的分支上有一點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD．
理由如下：由（1）知，C（1，4）、D（4，1），
∴DO=CO=（勾股定理）．
如圖1，過(guò)P作PM⊥OC，PN⊥OD，
要使S_△POC=S_△POD
∴PM=PN，
∴P在∠COD的角平分線上；
在Rt△OGC和Rt△DHO中，
∵，
∴Rt△OGC≌Rt△DHO（HL），
∴∠OCG=∠DOH（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；
又∵CG∥BO，
∴∠OCG=∠BOC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠BOC=∠DOH（等量代換），即PO平分∠BOA，
∴∠POA=45°．
過(guò)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則PQ=OQ．
故設(shè)P（a，a）（a＞0），則a==，
解得，a=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；

（3）結(jié)論①對(duì)，；
證明如下：如圖2，延長(zhǎng)OE、KM交于Q，連接NQ．∵KM⊥y軸，
∴KM∥OF，
∴∠KQO=∠FOQ，
又∵OE平分∠KOA，
∴∠KQO=∠FOQ=∠KOQ（等量代換），
∴KQ=KO、OE=EQ
即KE是OQ中垂線，
∴ON=QN，
易證△OEF≌△QEM，
∴MQ=OF，
在Rt△MNQ中，QN²=MQ²+MN²，
即ON²=OF²+MN²
．
分析：（1）設(shè)OG=a，GC=4a．在直角三角形OGC中根據(jù)勾股定理求得a的值，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求得m值；最后利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)P作PM⊥OC，PN⊥OD．由三角形面積的等積轉(zhuǎn)換推知PM=PN，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得P在∠COD的角平分線上；然后通過(guò)全等三角形Rt△OGC≌Rt△DHO（HL）的對(duì)應(yīng)角∠OCG=∠DOH、平行線的性質(zhì)、等量代換推得PO平分∠BOA；最后由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)P（a，a）的坐標(biāo)為（2，2）；
（3）結(jié)論①對(duì)，；如圖2，如圖2，延長(zhǎng)OE、KM交于Q，連接NQ．根據(jù)角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)推知KQ=KO、OE=EQ，即KE是OQ中垂線，所以
ON=QN，易證△OEF≌△QEM，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知MQ=OF；最后在Rt△MNQ中，根據(jù)勾股定理求得QN²=MQ²+MN²，即ON²=OF²+MN²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題．解題時(shí)，還借用了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．