Question

正方形ABCD，E是BC中點(diǎn)，∠AEF=90°，∠1=∠2
（1）線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系為______
（2）在線段BC上，若E不是BC中點(diǎn)，上述關(guān)系是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由？

Answer 1

解：（1）取AB的中點(diǎn)G，
∵正方形ABCD，E是BC中點(diǎn)，
∴AG=BG=BE=EC，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∠AGE=180°-45°=135°，
∵∠1=∠2，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=180°-90°=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）結(jié)論AE=EF仍然成立．
理由如下：在AB上截取BG=BE，
則△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∠AGE=180°-45°=135°，
∵AG+BG=AB，BE+EC=BC，AB=BC，
∴AG=EC，
∵∠1=∠2，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=180°-90°=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
分析：（1）取AB的中點(diǎn)G，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AG=BG=BE=EC，然后求出△BEG是等腰直角三角形，再求出∠AGE=135°，∠ECF=135°，從而得到∠AGE=∠ECF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CEF，然后利用“角邊角”證明△AGE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求解即可；
（2）在AB上截取BG=BE，得到△BGE是等腰直角三角形，然后求出∠AGE=135°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AG=EC，再求出∠ECF=135°，從而得到∠AGE=∠ECF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CEF，然后利用“角邊角”證明△AGE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線并求出∠AGE=∠ECF和AG=EC是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．