Question

9．我們把分子為1的分數(shù)叫做理想分數(shù)，如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，任何一個理想分數(shù)都可以寫成兩個不同理想分數(shù)的和，如$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$；$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；根據(jù)對上述式子的觀察，請你思考：如果理想分數(shù)$\frac{1}{n}$（n是不小于2的整數(shù)）=$\frac{1}{a}+\frac{1}$，那么a+b=（n+1）²．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出等號左邊分母上的數(shù)比等號右邊第一個分母上數(shù)大1，且這兩個數(shù)分母上的數(shù)相乘等于最后一個數(shù)的分母，即可得出$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$，進而分析可得在$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，有（2+1）²=3+6；在$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，有（3+1）²=4+12，進而得出a+b的值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$，
∴$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$，
∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，有（2+1）²=3+6；$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，有（3+1）²=4+12；
∴如果理想分數(shù)$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{a}$$+\frac{1}$，那么a+b=（n+1）²．
故答案為：$\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；（n+1）²．

點評 本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，培養(yǎng)學生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，分析題意，找到規(guī)律，并進行推導得出答案是解答此題的關鍵．